Морис Эшер

Морис Эшер родился в городе Лёвардене, административном центре нидерландской провинции Фрисландия, в семье инженера. В 1903 году семья переехала в Арнхем, где мальчик некоторое время учился столярному делу и музыке. С 1912 по 1918 годы Морис учился в средней школе. Хотя с раннего возраста он проявлял способности к рисованию, его успехи в школе были весьма посредственными.

В 1919 году Эшер поступает в Школу архитектуры и декоративных искусств в городе Гарлеме. Его учителем там был художник Самуэль де Мескита, оказавший на молодого человека огромное влияние (Эшер поддерживал дружеские отношения с Мескитой вплоть до 1944 года, когда Мескита, еврей по происхождению, был вместе с семьёй уничтожен нацистами).

В начале 1920-х Эшер часто путешествует в Италию. Именно там он впервые встречается с Йеттой Умикер, которая в 1924 году становится его женой. Чета жила в Риме до 1935 года, когда пребывание в Италии, под контролем режима Муссолини, стало для них трудновыносимым. Затем Эшеры перехали в Шато-д’О (Швейцария).

В январе 1941 года, после начала Второй мировой войны, Эшеры возвращаются в Нидерланды. С 1940-х по 1970-е они жили в голландском городе Барн (Baarn). В июле 1969 года Эшер создает свою последнюю гравюру на дереве — «Змеи».

Эшер скончался 27 марта 1972 года в своем доме в Ларене, на севере Нидерландов.

Для сюжетов «классических» произведений Эшера («Рисующие руки», «Метаморфозы», «День и ночь», «Рептилии», «Встреча», «Дом с лестницей» и т. д.) характерно остроумное осмысление логических и пластических парадоксов. В сочетании с виртуозной техникой это производит сильнейшее впечатление. Многие графические и концептуальные находки Эшера вошли в число символов XX века и впоследствии неоднократно воспроизводились или «цитировались» другими художниками.

Одним из самых выдающихся аспектов творчества Эшера является изображение «метаморфоз», фигурирующих в разных формах во множестве работ. Художник подробно исследует постепенность перехода от одной геометрической фигуры к другой, посредством незначительных изменений в очертаниях. Кроме того, Эшер неоднократно рисовал метаморфозы, происходящие с живыми существами (птицы превращаются у него в рыб и проч.) и даже «одушевлял» в ходе метаморфоз неодушевлённые предметы, превращая их в живых существ.

Морис Эшер одним из первых стал изображать в своих мозаичных картинах фракталы. Только спустя десятилетия учёные стали изучать свойста этих фигур и с помощью ЭВМ создавать то, что Эшер рисовал вручную.

При взгляде на любую из «мозаик» мастера у любого человека возникает подозрение на математическую закономерность. Однако из биографии художника и его собственных воспоминаний нам известно, что он не мог похвастаться законченным математическим образованием. Естественно, предложенное ниже предположение о математически выверенном способе создания гравюр не требует глубоких познаний в математике. Стоит упомянуть следующий замечательный факт из жизни художника. Однажды известный геометр Г. Кокстер пригласил художника на свою лекцию, посвященную математическому содержанию его гравюр и литографий. К взаимному разочарованию, Морис Эшер не понял почти ни слова из того, о чем рассказывал Кокстер. Вот что писал об этом сам художник: «Я так ни разу и не смог получить хорошей оценки по математике. Забавно, что я неожиданно оказался связанным с этой наукой. Поверьте, в школе я был очень плохим учеником. И вот теперь математики используют мои рисунки для иллюстрации своих книг. Представьте себе, эти ученые люди принимают меня в свою компанию как потерянного и вновь обретенного брата! Они, кажется, не подозревают, что математически я абсолютно безграмотен».

В этих словах, наверное, есть доля преувеличения. Все же нам кажется, что творчество Эшера интересно математикам не только потому, что в его работах можно обнаружить отголоски конкретных математических результатов. Скорее они вызывают ассоциации с общими математическими идеями.

Именно на помощь в изучении математики и будет сделан упор практического применения нашей работы. С помощью работ Мориса Эшера можно объяснить такие математические понятия и термины, изучаемые в школе, как: параллельный перенос, подобие фигур, равновеликие фигуры, периодичность. А так же некоторые понятия не входящие в школьный курс математики. В этот список можно включить следующие термины: квазипериодичность, инфляция, дефляция, треугольники Робинсона, преобразование дуальности. Во всём вышеописанном нам помогает разобраться искусство, искусство замечательного и интересного голландского художника Мориса Корнелиуса Эшера.

В предыдущей главе мы выделили основные направления в работах художника. Однако самым интересным с точки зрения математики являются «мозаики». Эта глава будет полностью построена на анализе гравюр именно этой категории. Нам удалось найти большинство таких работ. Однако большинство из них не получили названия. В главе будет приведено множество ссылок на пронумерованные работы и чертежи. Все они приведены в приложении.

В предыдущей главе мы коснулись такого аспекта творчества Мориса Эшера, как замощение плоскости или мозаики. В этой же главе мы более подробно остановимся на этом вопросе. Прежде всего, хотелось бы разобраться с простым вопросом: «что же такое замощение плоскости?»

Замощение — это покрытие всей плоскости неперекрывающимися фигурами. Вероятно, впервые интерес к замощению возник в связи с построением мозаик, орнаментов и других узоров. Известно много орнаментов, составленных из повторяющихся мотивов. Одно из простейших замощений можно описать так. Плоскость покрыта параллелограммами, причем все параллелограммы одинаковы. Любой параллелограмм этого замощения можно получить из первоначального параллелограмма, сдвигая его на вектор пU--тV (векторы U и V определяются ребрами выделенного параллелограмма, n и m — целые числа). Следует отметить, что все замощение как целое переходит в себя при сдвиге на вектор U (или V). Это свойство можно взять в качестве определения: именно, периодическим замощением с периодами U и V назовем такое замощение, которое переходит в себя при сдвиге на вектор U и на вектор V. Периодические замощения могут быть и весьма замысловатыми, некоторые из них очень красивы. Примером может служить периодическое замощение, придуманное Морисом Эшером («Всадники»).

Существуют и интересные непериодические замощения плоскости. В 1974 г. английский математик Роджер Пенроуз открыл квазипериодические замощения плоскости. Свойства этих замощений естественным образом обобщают свойства периодических. Пример такого замощения можно описать следующим образом. Вся плоскость покрыта ромбами. Между ромбами нет промежутков. Любой ромб замощения с помощью сдвигов и поворотов можно получить всего из двух. Это узкий ромб (36°, 144°) и широкий ромб (72°, 108°), показанные отдельно на рисунке 3. Длина сторон каждого из ромбов равна 1. Это замощение не является периодическим — оно, очевидно, не переходит в себя ни при каких сдвигах. Однако оно обладает неким важным свойством, которое приближает его к периодическим замощениям и заставляет называть его квазипериодическим. Дело в том, что любая конечная часть квазипериодического замощения встречается во всем замощении бесчисленное множество раз.

Стоит отметить, что это замощение обладает осью пятого порядка (переходит в себя при повороте на угол 72° вокруг некоторой точки), в то время как таких осей у периодических замощений не существует. Другое квазипериодическое замощение плоскости, построенное Пенроузом, приведено описывается далее. Вся плоскость покрыта четырьмя многоугольниками специального вида. Это звезда, ромб, правильный пятиугольник и «бумажный кораблик».

Для полного понимания природы квазипериодического замощения плоскости необходимо ввести понятия инфляции и дефляции. Каждый из показанных выше трех примеров квазипериодического замощения — это покрытие плоскости с помощью сдвигов и поворотов конечного количества фигур. Это покрытие не переходит в себя ни при каких сдвигах, любая конечная часть покрытия встречается во всем покрытии бесчисленное множество раз, притом, «одинаково часто» по всей плоскости.

Замощения, описанные выше, обладают некоторым специальным свойством, которое Пенроуз назвал инфляцией. Изучение этого свойства позволяет разобраться в структуре этих покрытий. Более того, инфляцию можно использовать для построения узоров Пенроуза.

Наиболее наглядным образом молено проиллюстрировать инфляцию на примере треугольников Робинсона. Треугольники Робинсона — это два равнобедренных треугольника P и Q с углами (36°, 72°, 72°) и (108°, 36°, 36°) соответственно. Эти треугольники можно разрезать на меньшие, так, чтобы каждый из новых (меньших) треугольников был подобен одному из исходных. Получается, что с помощью этого свойства можно замостить сколь угодно большую или малую площадь. Это свойство называется дефляцией. Обратное преобразование — склеивание — называется инфляцией.

Исследуем более подробно работы Мориса Эшера на предмет описанных выше математических закономерностей. Эшер интересовался всеми видами мозаик — регулярными и нерегулярными (периодическими и квазипериодическими) — а также ввел собственный вид, который назвал «метаморфозами», где фигуры изменяются и взаимодействуют друг с другом, а иногда изменяют и саму плоскость. Этот вид мозаик был описан в предыдущей главе.

Интересоваться мозаиками Эшер начал в 1936 году во время путешествия по Испании. Он провел много времени в Альгамбре, зарисовывая арабские мозаики, и впоследствии сказал, что это было для него «богатейшим источником вдохновения». Позже в своем эссе о мозаиках Эшер написал:

«В математических работах регулярное разбиение плоскости рассматривается теоретически… Значит ли это, что данный вопрос является сугубо математическим? Математики открыли дверь ведущую в другой мир, но сами войти в этот мир не решились. Их больше интересует путь, на котором стоит дверь, чем сад, лежащий за ней.»

После того, как мы разобрались в способах создания периодических и квазипериодических замощений мы можем предположить, каким образом Морис Эшер создавал свои мозаики.

При подробном рассмотрении и изучении мозаик Эшера можно предположить, что художник пользовался следующим очень интересным, но в то же время простым способом. Для примера рассмотрим мозаику № 35См. Приложение, симметрия. Нетрудно заметить, что шесть животных образуют какую- то измененную, но очень знакомую нам фигуру — правильный шестиугольник. Мы предполагаем, что Эшер при создании этой гравюры делал следующие. Намечал правильный шестиугольник (известно, что эту фигуру можно использовать при создании периодической мозаики). После этого он искривлял три смежные стороны шестиугольника, придавая им необходимый контур и, с помощью параллельного переноса, отображал эти стороны на противолежащие. Таким образом, мастер добивался того, что мозаику всё ещё можно было составить из полученной фигуры. После этого он изменял фигуру изнутри. Художник разбивал на шесть равных треугольников. В каждом треугольнике были изменены боковые ребра таким образом, что в сочетании с измененной стороной шестиугольника (основанием треугольника), они образовывали контур необходимого животного. В нашем случае получились «рыбки». Применив способ, описанный выше, он получал готовое к печати изображение. В доказательство справедливости вышеописанного способа можно привести нечеткие линии предварительной разметки, сохранившиеся на некоторых отпечатках гравюр мастера. Эти линии в точности повторяют рисунок, который должен получиться при выполнении первых этапов предполагаемого нами способа.

Руководствуясь вышеизложенными соображениями, мы можем разделить весь массив «мозаичных» работ на два фундаментальных класса. Первый — периодические работы и второй — квазипериодические. Все отличительные особенности периодической работы изложены выше. Обобщая их можно выделить следующие основные отличия: симметрия, возможность инфляции, возможность рассмотреть первичную геометрическую фигуру. Для более подробной классификации таких работ мы предлагаем разделить их по признаку первичной геометрической фигуры. Например, гравюры № 15, 2, 31, 33 имеют в своей основе ромб. В тоже время гравюры № 1, 10, 15, 18 имеют в своей основе параллелограмм. И третья основная фигура, выделенная нами, в гравюрах Мориса Эшера — правильный шестиугольник. Яркими представителями этого подкласса являются гравюры № 12, 13, 16, 17. Для каждой гравюры из описанных подклассов существует своя отличительная черта. Эта черта- наличие осей симметрии. Для каждой фигуры существует свой вид симметрии. Этот вид определяется количеством осей симметрии. Например, в гравюре № 22 явно просматриваются три оси симметрии.

Вторая часть этой главы будет посвящена исключительно квазипериодическим замощениям плоскости в работах М. К. Эшера. В начале главы были описаны основные отличия квазипериодического замощения от периодического. Основная сложность в классификации таких гравюр заключается в том, что не всегда возможно определить первоначальную геометрическую структуру мозаики. Однако все основные признаки квазипериодического замощения видны с первого взгляда. Можно предположить, что эти гравюры не являются в полной мере примерами квазипериодического замощения плоскости. Нередко мастер добавляет к математическим закономерностям авторские, логические и эстетические.

В категорию "квазипериодических мозаик" нами были включены всего две работы: "Мозаика I"(1951)"(34)- меццо-тинто и "Мозаика II"(1957) (48) - литография. Интересным кажется тот факт, что первая из работ – это последняя гравюра меццо-тинто, которую выполнил автор. Два вышеназванных отпечатка изображают стилизованные фигуры, ни в коей мере не тождественные друг другу. Тем не менее, фактически не принадлежа к группе квазипериодического замощения плоскости, они включены в нее потому, что их поверхности заполнены сплошь, без пробелов. Более того, такие гравюры невозможно выполнить без долгих лет упражнений в периодическом замощении плоскости. Узнавание в компонентах реальных объектов играет здесь более важную роль. Единственным оправданием существования гравюр является бескорыстное наслаждение художника этой трудной игрой.

В гравюре "Мозаика I"(34) упорядоченность построения состоит в том, что по любой горизонтальной и вертикальной оси прямоугольника в шахматном порядке чередуются три светлые и три темные фигуры. За исключением бордюрных форм, каждая белая фигура окружена четырьмя черными и каждая черная - четырьмя белыми. Итого: 36 фигур - 18 белых и 18 черных. Ни один из изображенных на гравюре объектов не повторяется. Этот факт в несколько раз усложняет процесс создания такой работы.

В гравюре «Мозаика II»(48) единственную черту упорядоченности, которую можно отметить, представляет сплошь заполненная структура прямоугольной поверхн ости. Всего несколько фигур внутри прямоугольника окружены четырьмя другими, две примыкают к лягушке, три — к гитаре, пять- к петуху и шесть- к страусу (если это страус). Подведение итога потребует тщательного подсчета.

Изучив значительную часть работ Мориса Эшера, мы сделали соответствующие выводы о природе его таланта и предположили способ, с помощью которого можно было создавать такие гравюры. Увы, но сам художник никогда не раскрывал секреты своего мастерства. Однако в его творчестве есть целый массив гравюр, названный им «Симметрия». Гравюры, входящие в состав этого массива и легли в основу нашего исследования. Сам Морис Эшер, как многие гении и до и после него, утверждал: «Все мои произведения — это игры. Серьезные игры». Однако в этих играх математики всего мира вот уже несколько десятилетий рассматривают абсолютно серьёзные, материальные доказательства идей, созданных с помощью исключительно математического аппарата.

Источник: peoples.ru